Sessão Matemática - Domínio e Imagem da Função Real

Existem algumas restrições que sempre caem nos vestibulares. São elas:
i - Não existe raiz quadrada de número negativo (e nenhuma outra raiz de índice par);
ii - Não existe divisão por zero;

EXEMPLO 1
Determine o domínio da função real .
Neste exemplo temos só uma restrição, a restrição ii: não existe divisão por zero. Então, o denominador deve ser diferente de zero, ou seja:

Logo, o domínio de nossa função será composto de todos os reais, menos o número -4, e isso se escreve:

Esses símbolos são lidos comoê "x pertence aos reais tal que x é diferente de -4".

Determine o domínio da função .
Ainda não está muito complicado, temos só uma restrição nesta função. Agora é a restrição i: não existe raiz quadrada de número negativo! Portanto o radicando deve ser positivo ou ZERO (pois existe raiz quadrada de ZERO), ou seja:

Portanto, o domínio de nossa função é composto de todos os números Reais maiores ou iguais a -3:

Lê-se "x pertence aos Reais tal que x é maior ou igual a -3".

Vamos complicar um pouco mais agora. Dada a função , determine seu domínio:
Temos duas restrições para o domínio, juntas! A de número i e ii.
Vamos fazer por partes:
Primeiro a raiz quadrada, sabemos que não existe raiz, com índice par, de números negativos, portanto:
2x + 5 ≥ 0
2x ≥ -5
x ≥ -5/2
A primeira restrição deve ser guardada, e vamos pensar na segunda: não existe divisão por zero, portanto:
x - 2 ≠ 0
x ≠ 2
Pronto, avaliamos todas as restrições e agora devemos escrevê-las todas juntas. Sabemos que "x" deve ser maior ou igual a -5/2, mas deve ser diferente de 2 (que é maior que -5/2), portanto a resposta fica assim:




Exemplos
Questão 1
Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, calcule o domínio e a imagem da
função f :A → B tal que f (x) = x + 1.
x = 1 → f (1) = 1 + 1 = 2
x = 2 → f (2) = 2 + 1 = 3
x = 3 → f (3) = 3 + 1 = 4
x = 4 → f (4) = 4 + 1 = 5

Df = {1, 2, 3, 4}
Imf = {2, 3, 4, 5 }

Questão 2
Dados A = {-1, 1, 0, 2, -3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9}, calcule o domínio e a imagem
da função f : A → B tal que f (x) = x2.
x = 1 → f (1) = 12 = 1
x = -1 → f (-1) = (-1)2 = 1
x = 0 → f (0) = 02 = 0
x = 2 → f (2) = 22 = 4
x = -3 → f (-3) = (-3)2 = 9
Df = {-1, 1, 0, 2, -3 }
Imf = {1, 0, 4, 9 }

Questão 3
Dada a função f (x) = 2x – 5, calcule o elemento x do domínio cuja imagem é:
a) 7
b) –13
Solução
a) f (x) = 7 ⇔ 2x – 5 = 7 ∴ x = 6
b) f (x) = –13 ⇔ 2 x – 5 = –13 ∴ x = - 4